Sveinbjorn Thordarson

Ég er alveg pottþéttur á því að það sé einhvers konar skrítið twist í þessu. Ég myndi halda að það væri betra að velja næstu hurðina, nema að þú teldir þig geta breytt kartöflu í milljón krónur, sem maður gæti kannski ef maður væri besti kartöflubóndi í heiminum.

Líkurnar á að milljónin sé á bakvið hurðina sem þú valdir eru 50/50 eftir að búið er að opna eina kartöfluhurð. Meira get ég ekki hugsað í bili. Þetta er eitthvað svona tricky :P

Er þetta ekki bara þannig að í byrjun eru 33.333...% líkur á að þú veljir rétta hurð. Svo þegar þú velur hurð þá opnar þáttastjórnandinn eina hurð og þá eru 2 eftir. Þannig eru 50% líkur á að hurðin, sem þú valdir ekki í byrjun, geymi milljónina. Þ.a.l. er alltaf betra að velja hurðina sem þú giskaðir ekki á í byrjun.

Því það er að sjálfsögðu betra að eiga 50% möguleika á milljón heldur en 33.33...%

Þú segist vera allur í Bayesískri líkindafræði þessa dagana en ég fæst hins vegar þessa dagana aðallega við að reikna út hverjar líkurnar séu á að mæling á spunaástandi spuna-1/2 agnar í einhverju spunaástandi gefi spuna 1/2. Þetta getur verið frekar þreytandi skal ég segja þér.

Ah...nei ég svaraði þessu rangt. Það eru auðvitað 66.66...% líkur á að milljónin sé á bakvið hurðina sem þú valdir ekki í byrjun. Þess vegna er betra að skipta um hurð.

Já, þetta er rétt Sindri. Hvernig fékkstu það út? ;)

Vegna þess að það eru 66.66.. % líkur á að milljónin sé á bakvið hinar 2. Þó svo að þáttastjórnandinn opni eina hurð þá minnka ekkert líkurnar heldur eru þær enn 66.66...%. En upprunalega eru ávallt 33.33...% á fyrsta hurðin sé rétt.

Ég kannast nú samt eitthvað við þetta. Það er samt mjög auðvelt að ruglast í svona líkindareikningi.

Þetta er ekki alveg rétt hjá þér, Sindri. Þ.e.a.s. ástæðan sem þú gefur. Ég ætla að pósta svarinu á næstu mínútum.

Eh...jú þetta er víst rétt hjá mér. Þú ert kannski að misskilja mig.

1. Umferð: 33.33...% líkur á að velja rétt 66.66...% líkur á að milljónin sé á bakvið hinar tvær
2. Umferð: Þáttastjórnandi opnar 1 hurð af þessum tveimur sem þú ekki valdir, það eru enn 66.66..% líkur á að milljónin sé á bakvið hurðina þá hurð sem þú valdir ekki.

Þ.a.l. eru líkurnar 2x meiri á að milljónin sé á bakvið hurðina sem þú valdir ekki því hurðin sem þú valdir í byrjun er með 33.333 % líkur á að geyma milljónina.

Hvað er rangt við það, Sveinbjörn???? Ég held að þetta sé pottþétt rétt hjá mér, ekki nema Bayesísk líkindafræði hafi upp á eitthvað annað að bjóða, eitthvað heimspekilegra.

Með því að beita Bayesískum útreikningum fáum við eftirfarandi:

Íhugum byrjunarstöðuna. Hurð 1 er valin, en hinar dyrnar hafa ekki verið opnaðar. Líkurnar að peningarnir séu bak við hurð 1 P(C1) og líkurnar á að peningarnir séu bak við hurð 3 P(C3). Sitt hvorar líkur eru 1/3. Líkurnar á að þáttastjórnandinn opni hurð númer 3, P(03), er 1/2, sbr.:

P(O3)
= P(C1)×P(O3 | C1) + P(C2)×P(O3 | C2) + P(C3)×P(O3|C3)
= 1/3*1/2 + 1/3 * 1 + 1/3 * 0
= 1/2

Fyrir vikið eru líkurnar á að peningarnir séu bak við hurð 2, skv. Bayes:

P(C2|O3)
= ( P(C2|O3) * P(C2) ) / P(O3)
= ( 1 * 1/3 ) / (1/2)
= 2/3

Trikkið er í raun það að líta á vandan út frá valkostum þáttastjórnandans, en ekki sínum eigin. Þetta virkar counter-intuitive því maður á það til að hugsa einungis um valkostina sem maður sjálfur stendur frammi fyrir þegar maður reiknar líkindin.

well, þetta er allavega rétt þó svo að ég hugsi þetta aðeins öðruvísi. T.d. getum við útvíkkað dæmið. Segjum sem svo að ég leggi 1000 spil á borðið og leyfi þér að velja eitt. Þá eru 1/1000 að þú veljir rétt spil í byrjun en 999/1000 að rétta spilið sé í bunkanum á borðinu. Ég fletti síðan hinum 998 spilum og skil 1 eftir, en þá eru 999/1000 líkur á að það sé rétta spilið en einungis 1/1000 á að upprunalega spilið sé rétt.

En svona líkindafræði getur gert mann gráhærðan. Gef skít í Bayes. ;)

Fyndið að þú skulir pósta þessu, það var akkurat verið að fara yfir þetta fyrir tölvufræði hlutan af einum kúrsi í síðustu viku. Þetta er hið svo kallað Monty Hall vandamál http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem þetta er frekar snúið að átta að samfæra sig á þessu en trickið er að fatta að þáttarstjórnandin hefur a priori knowledge sem maður getur nýtt sér. Anners er bayes mjög svalur og er einn öflugasta leið til að sortera út ruslpóst. Ertu annars en þá í foundations of probabillitry kúrsinum?

Já, einmitt, the Monty Hall problem it is.

En nei, Dolemite, ég hætti í Foundations of Probability. Kennarinn var leiðinlegur.

Þetta þarf ekkert að vera flóknara heldur en bara nákvæmlega eins og Sindri setti þetta upp. Fyrst þegar þú velur hurð eru 1/3 líkur á að þú fáir vinning. Svo það eru 2/3 líkur á því að þú hafir ekki valið rétt. Þáttastjórandinn opnar pottþétt hurð með kartöflu svo hann er í raun að leyfa þér að velja tvær hurðir. Annars var víst uppi mikið fjaðrafok meðal stærðfræðinga og fræðimanna þegar þetta vandamál kom fyrst fram, mér skilst í einhverju tímariti. Það vildu allir hafa þetta 50/50.

Það er ekkert mál að finna svar við þessu á netinu. Notar bara Altavista eða Live.

"og ekkert svindl með því að gúgla!"

Það kemur google ekkert við.

Now call that problem solving!

;) Það er auðvitað hægt að snúa út úr e-u svona endalaust.

Ef að þáttastjórnandinn segir "opna ég eina af HINUM hurðunum sem eru með kartöflu" hlýtur að borga sig að skipta, því hann myndi hann ekki opna aðra hurð ef þú giskaðir rangt í byrjun...

Málið í þessu er að í þeim tilfellum sem vinningurinn er ekki bakvið hurðina sem maður velur fyrst fær maður vinninginn ef maður breytir vali sínu. Segjum að við endurtökum þennan leik milljón sinnum og teljum hversu oft vinningurinn er á bakvið hurðina sem maður velur fyrst. Niðurstaðan verður að í einum af hverjum þrem tilfellum er hann þar og í tveimur af hverjum þrem ekki (eða ansi nálægt þessu).
Jæja, maður semsagt fær vinninginn ef maður breytir vali sínu í þeim tilfellum sem hann er ekki bakvið upphaflegt val. Þau tilfelli eru 2/3 af öllum tilfellum. Þar af leiðir...